为什么人说克莱因瓶造不出来？

真正的克莱因瓶确实造不出来，因为它是一个在四维空间里的特殊的无定向面，需要4个空间维度才能完整展示。它并不是到目前为止还造不出来，而是永远不可能造出来。因为我们能操作的世界只有三个空间维度，还差一个维度呢，这在物理上是无法突破的，就像你在平面上能制造一个球体吗？那是显然不可能的。

很多人对克莱因瓶的印象就是一个瓶子，但实际上它的提出者德国数学家克莱因提出的是一个无定向性的二维面，所以应该叫克莱因面。当你沿克莱因面的一个方向一直走会发现能从正面走到背面，然后又从背面走回到正面，也就是说它根本没有真正意义上的背面，因为它只有一面。

那么问题来了，如果它只是一个二维面，我们在三维空间为什么造不出来呢？因为要达到真正的克莱因瓶的效果，瓶的一部分必须伸到四维空间去。瓶子和瓶颈的交界部分其中一个面是封闭的，也就是无法通过的。真正的克莱因面是没有断面的，因此真正的克莱因瓶的瓶颈需要进入到四维空间，从四维空间里穿进瓶身去。这就是为什么一个二维面需要四维空间才能构造——因为这个面是封闭的，已经构成了一个三维的几何结构，而它的几何性质只有在四维空间才能完全呈现。

如果你还是无法理解三维空间为什么造不出一个特殊二维面，我们就降维考虑一下好了。你看到图中的线路了吗？如果你把它截取出来实际上就是一个莫比乌斯带。莫比乌斯带是由同是德国的数学家莫比乌斯提出的，它同样是一个二维面，同样是只有一个面，区别在于它并不是封闭的，因此它不会构成一个三维几何体，它就是一个有边界的二维面。然而它并不能在二维空间制造出来，因为它的结构在正常的二维空间无法产生，无论是平面、球面还是马鞍面的空间里，它都无法产生，它只能在三维里才能制造出来。